【解】设幂级数的通项为 $u_n(x) = \\dfrac{(x-2)^n}{\\sqrt{n+1}}$。首先求收敛半径 $R$。
系数 $a_n = \\dfrac{1}{\\sqrt{n+1}}$，计算极限：
$$
\\lim_{n\\to\\infty} \\left| \\frac{a_{n+1}}{a_n} \\right| = \\lim_{n\\to\\infty} \\frac{\\sqrt{n+1}}{\\sqrt{n+2}} = 1.
$$
故收敛半径 $R = \\dfrac{1}{1} = 1$。收敛区间中心为 $x_0=2$，故开区间为 $(2-1, 2+1)$ 即 $(1, 3)$。
接下来讨论端点处的敛散性：
当 $x=1$ 时，级数为 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\dfrac{(-1)^n}{\\sqrt{n+1}}$。这是交错级数，且 $\\dfrac{1}{\\sqrt{n+1}}$ 单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知该级数收敛。
当 $x=3$ 时，级数为 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\dfrac{1}{\\sqrt{n+1}}$。由于 $\\dfrac{1}{\\sqrt{n+1}} \\sim \\dfrac{1}{n^{1/2}}$，且 $p=\\dfrac{1}{2} \\le 1$，由 $p$-级数判别法知该级数发散。
综上所述，收敛域包括左端点但不包括右端点。
因此，该幂级数的收敛域为 $[1,3)$。