【答案】D。【解析】计算广义积分：$$\int_{0}^{+\infty}\frac{4}{1+kx^2}dx=4\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+kx^2}dx$$。令 $u=\sqrt{k}x$，则 $dx=\frac{du}{\sqrt{k}}$，积分变为 $$4\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+u^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{k}}du=\frac{4}{\sqrt{k}}\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+u^2}du=\frac{4}{\sqrt{k}}\cdot\left[\arctan u\right]_0^{+\infty}=\frac{4}{\sqrt{k}}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi}{\sqrt{k}}$$。由题设该积分收敛于 2，故 $\frac{2\pi}{\sqrt{k}}=2$，解得 $\sqrt{k}=\pi$，即 $k=\pi^2$，对应选项 D。选项 A、B、C 均不满足此等式。