【解】先对有理函数进行部分分式分解：
$$f(x)=\frac{3x+3}{2x^2+5x+2}=\frac{3x+3}{(2x+1)(x+2)}.$$
设 $$\frac{3x+3}{(2x+1)(x+2)}=\frac{A}{2x+1}+\frac{B}{x+2}.$$
通分得 $3x+3=A(x+2)+B(2x+1)$，令 $x=-2$ 得 $-3=B(-3)\Rightarrow B=1$；令 $x=-\frac{1}{2}$ 得 $\frac{3}{2}=A\cdot \frac{3}{2}\Rightarrow A=1$。故 $$f(x)=\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{x+2}.$$
分别展开为幂级数（在 $|x|<\frac{1}{2}$ 内收敛）：
$$\frac{1}{2x+1}=\frac{1}{1-(-2x)}=\sum_{n=0}^{\infty}(-2x)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n2^nx^n,$$
$$\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{2^{n+1}}x^n.$$
相加得 $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(2^n+\frac{1}{2^{n+1}}\right)x^n,\quad |x|<\frac{1}{2}.$$
收敛域由两个级数共同决定：$|2x|<1$ 即 $|x|<\frac{1}{2}$，且 $|x/2|<1$ 即 $|x|<2$，故取交集得 $x\in\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$。