考虑幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^n}{2n-1}$。令 $t = x - 2$，则级数化为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^n}{2n-1}$。由比值判别法：$\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{t^{n+1}}{2n+1} \cdot \frac{2n-1}{t^n}\right| = |t| \lim_{n\to\infty} \frac{2n-1}{2n+1} = |t|$。故收敛半径 $R = 1$，收敛区间为 $|t| < 1$，即 $1 < x < 3$。检验端点：当 $x = 1$，$t = -1$，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n-1}$，为交错级数，通项 $\frac{1}{2n-1}$ 单调递减趋于 0，由莱布尼茨判别法收敛；当 $x = 3$，$t = 1$，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n-1}$，与调和级数比较：$\frac{1}{2n-1} > \frac{1}{2n}$，而 $\sum \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}\sum \frac{1}{n}$ 发散，故发散。因此收敛域为 $[1,3)$，对应选项 B。