【解】令 $t = x-1$，则原级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{2^n(n+1)}$。记通项系数 $a_n = \frac{1}{2^n(n+1)}$。
计算收敛半径 $R_t$：
$$
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n(n+1)}{2^{n+1}(n+2)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{n+1}{n+2} = \frac{1}{2}.
$$
故关于 $t$ 的收敛半径 $R_t = \frac{1}{1/2} = 2$。即 $|x-1| < 2$，解得 $-1 < x < 3$。
接下来讨论端点处的敛散性：
1. 当 $x = -1$ 时，$t = -2$，级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{2^n(n+1)} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1}$。这是交错调和级数，由莱布尼茨判别法可知其收敛。
2. 当 $x = 3$ 时，$t = 2$，级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{2^n(n+1)} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n+1}$。这是调和级数，发散。
综上所述，收敛域为 $[-1, 3)$。
因此，该幂级数的收敛域为 $[-1,3)$。