【解】求幂级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(x-2)^n}{n+1}$ 的收敛域。

令 $u=x-2$，则级数化为 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{u^n}{n+1}$。

（1）用比值法求收敛半径：
$$
\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{u^{n+1}/(n+2)}{u^n/(n+1)}\right|=|u|\lim_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{n+2}=|u|.
$$
故收敛半径 $R=1$，即 $|u|<1$ 时绝对收敛，即 $|x-2|<1 \Rightarrow 1<x<3$。

（2）端点检验：
当 $x=1$，即 $u=-1$，级数为 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n+1}$，是交错级数，且 $\dfrac{1}{n+1}$ 单调递减趋于 0，由莱布尼茨判别法知收敛；

当 $x=3$，即 $u=1$，级数为 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n+1}=\sum_{k=2}^{\infty}\dfrac{1}{k}$，为调和级数去掉首项，发散。

故收敛域为 $[1,3)$。