【解】考虑几何级数 $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \dfrac{1}{1-x}$，其收敛域为 $x \in (-1, 1)$。
对该等式两边关于 $x$ 逐项求导，得：
$$
\left( \sum_{n=0}^{\infty} x^n \right)' = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \left( \dfrac{1}{1-x} \right)'.
$$
计算右边的导数：
$$
\left( \dfrac{1}{1-x} \right)' = -\dfrac{1}{(1-x)^2} \cdot (-1) = \dfrac{1}{(1-x)^2}.
$$
由于幂级数在收敛区间内逐项求导后收敛半径不变，故所求级数的收敛域仍为 $(-1, 1)$。
因此，和函数为 $S(x)=\dfrac{1}{(1-x)^2},\quad x\in(-1,1)$。