【答案】B。【解析】选项 B 正确：若 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_n$ 收敛，则其去掉前五项所得级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}u_{n+5}=\sum_{n=5}^{\infty}u_n$ 仍收敛，因级数收敛性与有限项无关。选项 A 错误：反例取 $u_n=\dfrac{1}{n^2}$（$n\ge1$），则 $\sum u_n$ 收敛，但 $\sum\sqrt{u_n}=\sum\dfrac{1}{n}$ 发散。选项 C 错误：反例同上，$u_n=\dfrac{1}{n^2}$，则 $(u_n)^2=\dfrac{1}{n^4}$ 收敛，但该反例不否定结论；需构造反例：取 $u_n=\dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$（$n\ge1$），由莱布尼茨判别法知 $\sum u_n$ 收敛，但 $(u_n)^2=\dfrac{1}{n}$，故 $\sum(u_n)^2$ 发散。选项 D 错误：反例取 $u_n=1$，则 $\sum\dfrac{u_n}{n}=\sum\dfrac{1}{n}$ 发散，不满足前提；再取 $u_n=n$，则 $\sum\dfrac{u_n}{n}=\sum1$ 发散；更适切反例：令 $u_n=\dfrac{1}{\ln(n+2)}$，则 $\dfrac{u_n}{n}\sim\dfrac{1}{n\ln n}$，由积分判别法知 $\sum\dfrac{1}{n\ln n}$ 发散，不满足前提；实际可取 $u_n=(-1)^n$，则 $\sum\dfrac{u_n}{n}$ 收敛（交错级数），但 $\sum u_n$ 发散。综上，仅 B 恒成立。