【解】令 $t=x+1$，则 $x=t-1$。函数化为 $f(x)=\dfrac{1}{(t-1)^2}$。
已知几何级数展开式 $\dfrac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^n, \quad |u|<1$。
对两边关于 $u$ 求导，得 $\dfrac{1}{(1-u)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}nu^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)u^n$。

在本题中，$\dfrac{1}{(t-1)^2}=\dfrac{1}{[-(1-t)]^2}=\dfrac{1}{(1-t)^2}$。
令 $u=t$，当 $|t|<1$ 时，有
$$\dfrac{1}{(1-t)^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)t^n.$$
将 $t=x+1$ 代回，得
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x+1)^n.$$
收敛域由 $|x+1|<1$ 确定，即 $-1<x+1<1$，解得 $-2<x<0$。
故展开式为 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(x+1)^n, \quad x\in(-2,0)$。