【解】记幂级数通项系数为 $a_n = \dfrac{3^n - (-1)^{n-1}}{n+1}$。首先求收敛半径 $R$。利用比值判别法，计算极限：
$$
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{3^{n+1} - (-1)^n}{n+2} \cdot \frac{n+1}{3^n - (-1)^{n-1}} \right|.
$$
分子分母同除以 $3^n$，得
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} \cdot \left| \frac{3 - (-1/3)^n}{1 - (-1/3)^{n-1}/3} \right| = 1 \cdot 3 = 3.
$$
故收敛半径 $R = \dfrac{1}{3}$，收敛区间为 $(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3})$。
接下来讨论端点处的敛散性。
当 $x = \dfrac{1}{3}$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3^n - (-1)^{n-1}}{n+1} (\dfrac{1}{3})^n = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1 - \frac{(-1)^{n-1}}{3^n}}{n+1}$。由于 $\sum \dfrac{1}{n+1}$ 发散，且 $\sum \dfrac{(-1)^{n-1}}{3^n(n+1)}$ 绝对收敛，故原级数发散。
当 $x = -\dfrac{1}{3}$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3^n - (-1)^{n-1}}{n+1} (-\dfrac{1}{3})^n = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^n - \frac{(-1)^{2n-1}}{3^n}}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \frac{(-1)^n}{n+1} + \frac{1}{3^n(n+1)} \right]$。前者为交错级数，由莱布尼茨判别法知收敛；后者为正项级数，由比较判别法知收敛。故原级数收敛。
因此，收敛域为 $[-\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{3})$。