【解】设幂级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$，其中系数 $a_n = \dfrac{1}{5^n(n+1)}$。利用比值法求收敛半径 $R$：$$\lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{1}{5^{n+1}(n+2)} \cdot \dfrac{5^n(n+1)}{1} \right| = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{n+1}{n+2} = \dfrac{1}{5}.$$故收敛半径 $R = \dfrac{1}{1/5} = 5$，收敛区间初步为 $(-5, 5)$。接下来讨论端点处的收敛性：当 $x=5$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{5^n}{5^n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n+1}$，这是调和级数去掉第一项，故发散；当 $x=-5$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-5)^n}{5^n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n+1}$，这是交错级数，满足莱布尼茨判别法条件（项绝对值单调递减趋于0），故收敛。综上所述，该幂级数的收敛区间为 $[-5, 5)$。