【解】设幂级数通项为 $u_n(x) = \dfrac{\ln(n+1)}{n}x^{n-1}$。系数 $a_n = \dfrac{\ln(n+1)}{n}$。计算收敛半径 $R$：$$\lim_{n\to\infty} \left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \dfrac{\ln(n+2)}{n+1} \cdot \dfrac{n}{\ln(n+1)} = \lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{n+1} \cdot \dfrac{\ln(n+2)}{\ln(n+1)} = 1 \cdot 1 = 1.$$故收敛半径 $R=1$，收敛区间为 $(-1, 1)$。考察端点情况：当 $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\ln(n+1)}{n}$。由于 $\ln(n+1) > 1$ (当 $n\ge 2$)，且 $\dfrac{\ln(n+1)}{n} > \dfrac{1}{n}$，由比较判别法知该级数发散。当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{\ln(n+1)}{n}(-1)^{n-1}$。这是交错级数，设 $b_n = \dfrac{\ln(n+1)}{n}$。考察单调性：令 $f(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{x}$，$f'(x)=\dfrac{\frac{x}{x+1}-\ln(x+1)}{x^2}$。当 $x$ 足够大时，$\ln(x+1) > \frac{x}{x+1}$，故 $f'(x)<0$，数列单调递减趋于0。由莱布尼茨判别法知级数收敛。综上，收敛域为 $[-1, 1)$。因此，收敛域为 $[-1, 1)$。