【解】设幂级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，其中 $a_n=\dfrac{1}{n+1}$。
第一步，求收敛半径 $R$：
$$\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n+1}{n+2} = 1,$$
故收敛半径 $R=\dfrac{1}{\rho}=1$，收敛区间为 $(-1,1)$。
第二步，讨论端点敛散性：
当 $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n+1}$，这是调和级数，发散；
当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{n+1}$，这是交错级数，满足莱布尼茨判别法条件，收敛。
因此，收敛域为 $[-1,1)$。
第三步，求和函数 $S(x)$：
当 $x=0$ 时，$S(0)=a_0=1$。
当 $x \in (-1,1)$ 且 $x \neq 0$ 时，
$$S(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n+1} = \dfrac{1}{x} \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.$$
令 $t=x$，已知 $\ln(1-t) = -\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{t^k}{k}$，即 $-\ln(1-x) = \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$。
故 $S(x) = -\dfrac{\ln(1-x)}{x}$。
综上，和函数为 $S(x)=\begin{cases} -\dfrac{\ln(1-x)}{x}, & x \in [-1,1), x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$。