函数、极限与连续 / 重要极限与 e 型极限 / 概念辨析或快速代入排除
极限$\underset{x \rightarrow \infty}{\lim} \left(1 - \frac{2}{x}\right)^{2 - x} =$（ ）
正确答案
D
题目解析
【解】将极限化为标准 $e$ 型：
$$\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{2-x}=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{-x}\cdot\left(1-\frac{2}{x}\right)^2.$$
其中 $\left(1-\frac{2}{x}\right)^2\to 1$，而 $$\left(1-\frac{2}{x}\right)^{-x}=\left[\left(1+\frac{-2}{x}\right)^{x}\right]^{-1}\to (e^{-2})^{-1}=e^2.$$
故原极限为 $e^2\times 1=e^2$，对应选项 D。
$$\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{2-x}=\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{2}{x}\right)^{-x}\cdot\left(1-\frac{2}{x}\right)^2.$$
其中 $\left(1-\frac{2}{x}\right)^2\to 1$，而 $$\left(1-\frac{2}{x}\right)^{-x}=\left[\left(1+\frac{-2}{x}\right)^{x}\right]^{-1}\to (e^{-2})^{-1}=e^2.$$
故原极限为 $e^2\times 1=e^2$，对应选项 D。