【解析】已知 $\lim_{x \to 0} \left|\frac{f(x)}{\sin x}\right| = 0$，即 $\frac{f(x)}{\sin x} \to 0$，故 $f(x) = o(\sin x)$。又因 $\sin x \sim x$（$x \to 0$），所以 $f(x) = o(x)$，即 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = 0$。由于 $|x|$ 与 $x$ 在 $x \to 0$ 时等价无穷小（绝对值不改变无穷小阶数），故 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{|x|} = 0$，选项 A 正确。

选项 B：$\frac{f(x)}{x \sin x} = \frac{f(x)}{\sin x} \cdot \frac{1}{x}$，其中 $\frac{f(x)}{\sin x} \to 0$，但 $\frac{1}{x} \to \infty$，为 $0 \cdot \infty$ 型未定式，无法确定极限为 0；反例取 $f(x) = x^{3/2}$，则 $\left|\frac{f(x)}{\sin x}\right| \sim |x|^{1/2} \to 0$，但 $\frac{f(x)}{x \sin x} \sim \frac{x^{3/2}}{x^2} = x^{-1/2} \to \infty$，故 B 错误。

选项 C：$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，故分母 $x(1 - \cos x) \sim \frac{x^3}{2}$，而 $f(x) = o(x)$，不能推出 $f(x) = o(x^3)$，反例同上，$f(x) = x^{3/2}$ 时该式趋于 $\infty$，C 错误。

选项 D：$\frac{f(x)}{x^2} = \frac{f(x)}{x} \cdot \frac{1}{x}$，同理为 $0 \cdot \infty$ 型，反例 $f(x) = x^{3/2}$ 使该式趋于 $\infty$，D 错误。综上，选 A。