函数、极限与连续 / 极限计算 / 常规计算与结论整理
极限$\underset{\left(x , y\right) \rightarrow \left(0 , 0\right)}{\lim} \left(x + 1\right) \arctan \frac{1}{x^{2} + 4 y^{2}} =$__________.
正确答案
$\frac{\pi}{2}$
题目解析
极限$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} (x+1)\arctan\frac{1}{x^2+4y^2}$中，因$(x,y)\to(0,0)$时，$x^2+4y^2\to 0^+$，故$\dfrac{1}{x^2+4y^2}\to +\infty$，从而$\arctan\dfrac{1}{x^2+4y^2}\to \dfrac{\pi}{2}$；又$x+1\to 1$，由极限乘法定理得原式$=1\times\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi}{2}$。