函数、极限与连续 / 重要极限与 e 型极限 / 概念辨析或快速代入排除
已知 $f'(0)=-2$，则 $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{f(-x)-f(0)}{\ln(1+3x)}=$____.
正确答案
$\dfrac{2}{3}$
题目解析
由导数定义，$f'(0)=\lim_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=-2$，故 $\lim_{x\to0}\dfrac{f(-x)-f(0)}{-x}=-2$，即 $\lim_{x\to0}\dfrac{f(-x)-f(0)}{x}=2$。又因 $\ln(1+3x)\sim 3x$（当 $x\to0$），所以
$$
\lim_{x\to0}\dfrac{f(-x)-f(0)}{\ln(1+3x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{f(-x)-f(0)}{x}\cdot\dfrac{x}{\ln(1+3x)}=2\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}。
$$
故答案为 $\dfrac{2}{3}$。
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\lim_{x\to0}\dfrac{f(-x)-f(0)}{\ln(1+3x)}=\lim_{x\to0}\dfrac{f(-x)-f(0)}{x}\cdot\dfrac{x}{\ln(1+3x)}=2\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}。
$$
故答案为 $\dfrac{2}{3}$。