函数、极限与连续 / 极限计算 / 概念辨析或快速代入排除
极限 $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,1)}\dfrac{\sqrt{1+x^2y^2}-1}{x^2}=$（ ）
正确答案
D
题目解析
【解析】当 $(x,y)\to(0,1)$ 时，$x\to0$，$y\to1$，故 $x^2y^2\to0$，分子 $
\sqrt{1+x^2y^2}-1$ 可用等价无穷小替换：$
\sqrt{1+u}-1\sim\dfrac{u}{2}$（$u\to0$），取 $u=x^2y^2$，得 $
\sqrt{1+x^2y^2}-1\sim\dfrac{x^2y^2}{2}$。因此原极限为 $$\lim_{(x,y)\to(0,1)}\dfrac{\dfrac{x^2y^2}{2}}{x^2}=\lim_{(x,y)\to(0,1)}\dfrac{y^2}{2}=\dfrac{1^2}{2}=\dfrac{1}{2}$$，对应选项 D。选项 A 错误（忽略 $y^2$ 趋于 1）；B、C 均未正确处理等价替换或极限代入。
\sqrt{1+x^2y^2}-1$ 可用等价无穷小替换：$
\sqrt{1+u}-1\sim\dfrac{u}{2}$（$u\to0$），取 $u=x^2y^2$，得 $
\sqrt{1+x^2y^2}-1\sim\dfrac{x^2y^2}{2}$。因此原极限为 $$\lim_{(x,y)\to(0,1)}\dfrac{\dfrac{x^2y^2}{2}}{x^2}=\lim_{(x,y)\to(0,1)}\dfrac{y^2}{2}=\dfrac{1^2}{2}=\dfrac{1}{2}$$，对应选项 D。选项 A 错误（忽略 $y^2$ 趋于 1）；B、C 均未正确处理等价替换或极限代入。