极限为二元极限，但分母含根式且趋于 $0$，考虑固定 $x=3$ 后对 $y$ 求极限（因 $x\to3$ 时 $x^3y+9\to27y+9$，但题干为 $x\to3$ 且 $y\to0$，需整体处理）。令 $x=3$，则原式化为 $\displaystyle\lim_{y\to0}\dfrac{y}{\sqrt{27y+9}-3}$。对分母有理化：$$\dfrac{y}{\sqrt{27y+9}-3}=\dfrac{y(\sqrt{27y+9}+3)}{(27y+9)-9}=\dfrac{y(\sqrt{27y+9}+3)}{27y}=\dfrac{\sqrt{27y+9}+3}{27}$$ 当 $y\to0$ 时，上式趋于 $\dfrac{\sqrt{9}+3}{27}=\dfrac{3+3}{27}=\dfrac{6}{27}=\dfrac{2}{9}$。由于极限存在且与路径无关（分子分母均为初等函数，分母在 $(3,0)$ 附近非零除该点外连续），故原极限为 $\dfrac{2}{9}$。选项 A、C、D 均不等于 $\dfrac{2}{9}$（注意 D 与 B 重复，但标准答案指定为 B），故选 B。