极限 $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)$ 存在，需左右极限均存在且相等。当 $x\to0^-$ 时，$f(x)=x+3\to3$；当 $x\to0^+$ 时，$f(x)=\dfrac{x^2}{\ln(1-kx^2)}$。利用等价无穷小：当 $u\to0$ 时，$\ln(1+u)\sim u$，故 $\ln(1-kx^2)\sim -kx^2$（要求 $k\neq0$，否则分母为 $\ln1=0$，无定义）。于是 $$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\dfrac{x^2}{-kx^2}= -\dfrac{1}{k}.$$ 令其等于左极限 $3$，得 $-\dfrac{1}{k}=3$，解得 $k=-\dfrac{1}{3}$。验证：此时 $k=-\dfrac{1}{3}$，$\ln(1-kx^2)=\ln(1+\frac{1}{3}x^2)\sim\frac{1}{3}x^2$，故 $f(x)\sim\dfrac{x^2}{\frac{1}{3}x^2}=3$，极限存在。选项 B 正确。干扰项 A 得右极限为 $-3$，不等于左极限 $3$；C、D 代入后分母等价于 $\pm3x^2$，右极限为 $\mp\frac{1}{3}$，均不等于 $3$。