【答案】C。【解析】$x = 0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点，即 $\lim_{x \to 0} f(x)$ 存在且有限，但 $f(0)$ 不等于该极限（或未定义），而本题中 $f(0) = 0$ 已定义，故需满足 $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0$ 才能成为可去间断点——但题干明确称其为“可去间断点”，说明当前 $f(0)$ 与极限值不等，可通过重新定义 $f(0)$ 使其连续，即要求左右极限存在且相等，记为 $L$，而题目给定 $f(0) = 0$，故要使间断点可去，必须有 $\lim_{x \to 0} f(x) = L$，且 $a$ 的取值应使左极限等于右极限。计算右极限：$\lim_{x \to 0^+} \dfrac{\tan x}{x} = 1$（因 $\tan x \sim x$）。计算左极限：$\lim_{x \to 0^-} \left(a + 2x \sin \dfrac{1}{x}\right)$。由于 $|2x \sin \frac{1}{x}| \leq 2|x| \to 0$，故该极限为 $a + 0 = a$。为使左右极限相等，需 $a = 1$。此时极限值为 1，而 $f(0) = 0 \neq 1$，故确为可去间断点。因此 $a = 1$，对应选项 C。选项 A、B、D 均不能使左右极限相等。