【解析】由题设，$f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，需满足
$$
\lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = \lim_{x \to 1^+} f(x).
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左极限：当 $x \to 1^-$ 时，$f(x) = ax^2 + 2x - 1$，故
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\lim_{x \to 1^-} f(x) = a(1)^2 + 2(1) - 1 = a + 1.
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函数值：$f(1) = b$。
右极限：当 $x \to 1^+$ 时，$f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{\sin(\sqrt{x} - 1)}$。令 $u = \sqrt{x} - 1$，则 $x = (u+1)^2$，当 $x \to 1^+$ 时，$u \to 0^+$，且
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x^2 - 1 = [(u+1)^2]^2 - 1 = (u+1)^4 - 1 = u^4 + 4u^3 + 6u^2 + 4u,
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但更简便方法是直接化简原式：
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\frac{x^2 - 1}{\sin(\sqrt{x} - 1)} = \frac{(x-1)(x+1)}{\sin(\sqrt{x} - 1)}.
$$
注意到 $x - 1 = (\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)$，故
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\frac{(x-1)(x+1)}{\sin(\sqrt{x} - 1)} = \frac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)(x+1)}{\sin(\sqrt{x} - 1)}.
$$
令 $t = \sqrt{x} - 1$，则 $t \to 0$，且 $\sqrt{x} + 1 = t + 2$, $x + 1 = (t+1)^2 + 1 = t^2 + 2t + 2$，所以分子为 $t(t+2)(t^2 + 2t + 2)$，分母为 $\sin t$。于是
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\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{t \to 0} \frac{t(t+2)(t^2 + 2t + 2)}{\sin t} = \lim_{t \to 0} \left[ \frac{t}{\sin t} \cdot (t+2)(t^2 + 2t + 2) \right] = 1 \cdot 2 \cdot 2 = 4.
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因此，由连续性得：
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a + 1 = b = 4 \quad \Rightarrow \quad a = 3,\ b = 4.
$$