直线由两平面交线给出，其方向向量为两平面法向量的叉积。平面 $x-y-6=0$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}_1=(1,-1,0)$，平面 $x+y+z-9=0$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}_2=(1,1,1)$，故方向向量 $$\boldsymbol{s}=\boldsymbol{n}_1\times\boldsymbol{n}_2=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\1&-1&0\\1&1&1\end{vmatrix}=(-1, -1, 2).$$ 平面 $x-2y+z+3=0$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}=(1,-2,1)$。设直线与平面夹角为 $\theta$，则 $\sin\theta=\dfrac{|\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{s}|\,|\boldsymbol{n}|}$。计算：$$\boldsymbol{s}\cdot\boldsymbol{n}=(-1)(1)+(-1)(-2)+2(1)=-1+2+2=3,$$ $$|\boldsymbol{s}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{6},\quad |\boldsymbol{n}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+1^2}=\sqrt{6},$$ 故 $$\sin\theta=\frac{|3|}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$ 因 $\theta\in[0,\frac{\pi}{2}]$，所以 $\theta=\dfrac{\pi}{6}$。