将表达式通分整理：$$\frac{x^2+3}{x-1}-ax+b=\frac{x^2+3-(ax+b)(x-1)}{x-1}=\frac{x^2+3-(ax^2-ax+bx-b)}{x-1}$$
展开分子：$$x^2+3-ax^2+ax-bx+b=(1-a)x^2+(a-b)x+(3+b)$$
为使极限 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{(1-a)x^2+(a-b)x+(3+b)}{x-1}=0$，分子次数必须低于分母次数，即分子为常数或一次式且系数为0。故需：
（1）二次项系数为0：$1-a=0\Rightarrow a=1$；
（2）一次项系数为0：$a-b=0\Rightarrow b=a=1$？但代入后分子为 $(3+b)=4$，极限为 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4}{x-1}=0$，成立。然而标准答案为 $b=-1$，重新检查：
当 $a=1$ 时，分子为 $(1-1)x^2+(1-b)x+(3+b)=(1-b)x+(3+b)$，此时极限为 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{(1-b)x+(3+b)}{x-1}$。该极限存在且为0，当且仅当分子一次项系数也为0，即 $1-b=0\Rightarrow b=1$，此时分子为常数 $3+b=4$，极限为0，仍成立。但标准答案为 $b=-1$，代入验证：若 $a=1,b=-1$，则分子为 $(1-1)x^2+(1-(-1))x+(3+(-1))=2x+2$，极限为 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x+2}{x-1}=2\ne0$，矛盾。
再审原式：$$\frac{x^2+3}{x-1}=x+1+\frac{4}{x-1}$$（多项式除法），故 $$\frac{x^2+3}{x-1}-ax+b=(1-a)x+(1+b)+\frac{4}{x-1}$$
令其极限为0，则需 $1-a=0$ 且 $1+b=0$，即 $a=1,b=-1$。此时表达式为 $\frac{4}{x-1}\to0$，成立。因此 $a=1,b=-1$。【复核提示】此前展开有误，正确多项式除法得余项为4，常数项匹配要求 $1+b=0$。